在音乐的世界中，从某个音到其上方一个八度的音之间，共计有13个常用的音。以c1到c2为例，期间共包含了c1、#c1、d1、♭e1、e1、f1、#f1、g1、♭a1、a1、♭b1、b1、c2这13个音，他们两两之间形成了12个间隔，每一个间隔成为一个半音。所以，一个八度由12个半音构成。
学习音乐的人或多或少地都会研究过这些间隔之间排列组合所能形成的音响效果。比如从c1开始，结合其上方4个间隔的e1和e1上方3个间隔的g1，便可构成一个C大和弦，这是一个非常重要的和弦，能够形成饱满、稳定的音响效果。或者，从c1上方数8个间隔获得♭a1，而从♭a1上方数4个间隔可以获得c2。我们恰好发现，8+4=12（一个八度），而c1-♭a1音程和♭a1-c2音程拥有极其相似的音响效果。如果我们将这两个音程起名称作“互补音程”的话，那么这两个音程之间的音响关系在理论上像极了物理光学中的巴比涅原理——互补的光屏具有相同的衍射图案，互补的音程具有意义上相同的音响效果。
但如果我们换个视角，将一个八度中的12个音平均分组，也就是将一个八度平均分成2、3、4、6、12份，它们又会有怎样特殊的意义和价值呢？实际上，上面所提到的每一种平均分组所形成的音列在音乐之中都具有极高的价值。
01
平均分2组——三全音
把一个八度平均分两组，那么每组之中应该包含6个半音。从c1向上数6个半音可以获得#f1，从#f1再向上数6个半音可以获得c2，这样便由两组“六个半音”构成了一个八度，我们将一个八度平均分了两份。
实际上，c1和#f1之间的关系通常被称作“三全音”。参加过爱乐课程培训的同学一定会对上图印象深刻，因为在所有自然音程之中，只有三全音这一种音程关系无法以“大、小、纯”等协和音程的名字命名，它是所有自然音程中唯一一个“天生不协和”的音程。实际上，如果将每个三全音的音程都单独演奏出来，大家会发现，即使不把他装在音乐体系里，即使这一音程没有旋律上的“上下文”，即使单纯从音高与频率的关系去理解这一音响效果，它也是如此的紧张、尖锐、刺耳。我曾经在课上提到过单独演奏一个小二度（后续会谈论）同样构成极不协和音程，但小二度，或者说一个半音这一音程在音乐体系中有着极大的应用价值，甚至可以说，这一音程是音乐这一“高楼大厦”的“地基”。（参见乐理课第三章中导音和解决的概念）
看起来最简单、最自然的处理方法，把一个八度平均分两份，我们却获得了最不协和、最冲突的音程关系。
02
平均分三组——增三和弦
把一个八度平均分三组，那么每组之中应当包含4个半音。我们可以获得c1-e1，e1-#g1，#g1-c1这三组音程。单独看这三组音程，他们所构成的都是大三度的关系，这没有什么特别的价值；但如果把他们两两结合起来，我们便会发现一些有趣的现象。
由两个大三度所构成的三和弦叫做增三和弦。与大三、小三、减三和弦所不同的是，增三和弦并不能在自然大调和自然小调之中获得，我们第一次接触增三和弦实际上应该是和声小调之中的三级和弦。增三和弦在大小调和声中的应用相对较少，它远不如减三和弦用得直接、广泛；但增三和弦由于具有一些特殊的性质，使得它在现代和声学发展之中拥有极高的价值——
增三和弦最重要的一条性质在于，它的每一个转位都将形成一个新的增三和弦。以大三和弦为例，c-e-g的第一转位e-g-c形成的是C的六和弦，其本质仍为C和弦；第二转位g-c-e形成的是C的六四和弦，其本质也是C和弦。然而增三和弦不同，c-e-#g的第一转位e-#g-c，我们发现它构成了e的增三和弦。不妨再尝试第二转位，它又构成了♭a的增三和弦。那么回到问题的本源，c-e-#g究竟是谁的增三和弦呢？这在某种程度上已经变成一个哲学问题了。这世界上可以有12种增三和弦，但实际上由于这种性质，每3个增三和弦共享一个音高的结构，所以，实际上，这个世界只存在4种不同的增三和弦。由于每个增三和弦都可以“分饰三角”，它在和弦连接中的自由度大大地增强了，这也正是它具有暧昧、慵懒、扩张的音响关系的原因之一。
增三和弦之所以具有如此神奇的性质，是由于增三和弦实际上就是把一个八度平均分成了三组。c1-e1，e1-#g1，#g1-c1，这平均分的三组之间任意组合都可以获得一个相同而又具有三重性质的增三和弦。
03
平均分四组——减七和弦
把一个八度平均分四组，那么每组应当包含3个半音，我们可以获得c1-♭e1、♭e1-♭g1、♭g1-a1（♭♭b1）、a1-c2这四组音程。
这四组音程之间相邻的两组两两组合，可以获得减三和弦。减三和弦本身已经具备一定的研究价值，减三和弦是我们接触到的第一个不协和的和弦（自然大调七级和弦），它的出现第一次阐释了和声进行中最基本的“发现问题-分析问题-解决问题”的思路，即预备和解决。
若将这四组音程中的任意三个进行组合，我们可以获得减七和弦。比如将前三个音程进行组合，c1-♭e1-♭g1-♭♭b1（也即1、♭3、#4、6这四个音），便获得了Cdim7这一减七和弦。减七和弦具有和增三和弦类似的性质——由于减七和弦将一个八度平均分成四组，所以减七和弦的每一转位都可以获得一个新的减七和弦，从而减七和弦中每一个和弦都可以“分饰四角”——世界上只有三种减七和弦，甚至比增三和弦还少一种。而且由于减七和弦本质上在古典和声之中应用很多，所以它的价值在传统意义上来讲远比增三和弦大得多。如果把减七和弦装在调里面，每一个减七和弦至少具有44种不同的意义和应用方法。减七和弦是一个非常宝贵的、几乎可以接在任何调式之中的和弦，因此减七和弦既可以理解成一个省略根音的降九和弦来使用，也可以当做一个游移和弦去开辟新的天地。
04
平均分六组——全音阶
将一个八度平均分成6组，那么每组应当包含2个半音，即一个全音。把这六组音阶顺次排列，可以获得一个每个音之间距离都相等的六音音阶——全音阶。比如，将c1-c2之间的八度平均分六组，c1-d1-e1-#f1-#g1-#a1-c2便构成了一个全音阶。
全音阶最宝贵的价值在于其中每相邻两个音都构成全音——从而彻底消灭了导音的概念，“提出问题-分析问题-解决问题”的基本思路也便分崩离析；每级上的三和弦都构成增三和弦——从而彻底消灭了功能调式和声的概念，属、下属、导等概念也便不复存在。全音阶之中的每个音都具有相同的重要性，这是和传统调式理论区别最大的一点。我们可以大胆地任意把这六个音先后排列构成旋律，或上下排列构成和弦。这六个音任意构成的一个和弦，即使遵循着最严格的处理理论，也有60多种不同的解决方式。我们将这样的创作技法比作音乐中的“量子力学”毫不为过——因为他对传统音乐理论是一种思维上的颠覆。
由此我们看到，将一个八度平均分成若干份，每一种分法都会获得一个非常激进的、不协和的、非常具有挑战性的理论。以上都是基于键盘上的音程关系的平均分配方法，但如果我们深入研究每个音高之间的频率关系，将一个八度的频率平均分成若干份，又会有怎样的结果呢？
从傅里叶分析的角度来讲，互为八度的两个音，频率比为1：2。现在通行的十二平均律将一个八度之间的频率按等比数列的关系平均分配，即每个音的频率都和其前一个音成固定的倍率，这一倍率（即等比数列的公比）是2的12分之一次幂。如果把频率和音高在一个半对数坐标系中体现出来的话，我们会发现在十二平均律理论之下音高和（log 2 频率）成线性关系。
但实际上，十二平均律并不是自然的音律。我们知道对于一个周期性信号，其傅里叶级数之间一定不会包含2的12分之一次幂这样奇怪的倍率关系，在这一傅里叶级数之中每一个频率都应当是基频的整数倍。实际上这也正是大自然的发声方式——虽然我们听到的乐音不是周期性信号，其傅里叶变换形成连续谱，但我们能听到的具有固定音高的声音，其频谱一定会在基频及其各整数倍之间取得极大值。
那么这些基频和它的各次谐波之间构成什么关系呢？任何一本专业的乐理书都会提到，这就是世界之上自然存在的“泛音列”。实际上，在你演奏c1这个音的时候，只要你所用的音色不是正弦波，那么实际上你都会听到无数个音高，其中前几个较为明显的音高是下面这些：
我们听到的音高实际上只是“1号音高”，也即基频C，其上方的各次谐波及其音量关系构成了音色的不同。我们听到的世间音色千千万，实际上只是2号及其之上的各号音高之间的相对音量关系罢了。
傅里叶分析告诉我们，这些音高的“标号”实际上就是他们的频率比，比如5号音高的频率实际上就是1号音高的5倍，7号音高的频率实际上就是1号音高的7倍。有了这些基础的信号分析知识，再结合上“相邻八度音频率比为1:2”这一宇宙真理，我们就可以尝试着把一个八度之间的频率平均分成若干份了，看看这种分法会有什么结果。
05
频率平均分2份——纯五度
把一个八度音之间的频率在自然坐标轴（而非对数坐标轴）之下分两份——我们获得了相对频率分别为1、1.5、2的三个音。我们知道相对频率为1和2的这两个音构成一个八度，不妨假设他们就是c1和c2，那么相对频率为1.5的这个音是什么音呢？
1.5并不是一个整数，我们可以到泛音列之中去寻找答案。1.5可以拆分成3乘以0.5，也就是把“3号”音高降低八度（这也许是一个群操作，音乐之中果然蕴含着无穷无尽的数学思维）。很显然，这个音就是g2降低八度之后的g1 。c1和g1之间构成最和谐的纯五度，g1和c2之间构成相对最和谐的纯四度。大家看，把频率平均分2份之后，我们获得了世界上第二和谐和第三和谐的音高关系——第一和谐的音高关系就是纯八度，它是我们平分操作的基础。
06
频率平均分4份——大三与属七和弦
把相对频率1和2之间的频率分成两份，我们获得了和谐的纯五度，也即“1.5”。那么如果把1和1.5之间再平均分两份，又会获得什么音高呢？我们知道，1.25等于5除以4，这边提示我们这个音高实际上就是把泛音列中的“5号”音高降低两个八度。如果1是c1,2是c2的话，那么1.25就是e1。
我们来看1.25这个音的地位。c1-e1，构成大三度，一个饱满的音程；c1-e1-g1，构成大三和弦，我们所接触到的第一个和弦，也是最稳定、最饱满的和弦。
C大三和弦，从频率上来讲，就是1-1.25-1.5的关系，三个音恰好都位于八度频率的四等分点之上，多么的巧妙啊！
下面我们来关注相对频率1.75的这个音。同样的方法我们可以知道这个音实际上是♭b1 。我们会发现，c1-e1-g1-♭b1这四个音构成了一个属七和弦，也是我们接触到的第一个七和弦，而从频率上来讲，C7中四个音的频率关系就是1-1.25-1.5-1.75的关系，四个音全部位于八度频率的四等分点之上！于是我们也就不难理解为什么属七和弦拥有如此重要的价值了——它在古典和声里面起着基础、决定性的作用；而在现代布鲁斯和声里面大量充当替代大三和弦的主和弦使用。